numpy.random.standard_t

random.standard_t(df, size=None)

從自由度為 df 的標準 Student’s t 分佈中抽取樣本。

雙曲分佈的特例。當 df 變大時，結果會類似於標準常態分佈 ( standard_normal )。

注意

新程式碼應使用 standard_t 方法，此方法屬於 Generator 實例；請參閱 快速入門。

參數:

dffloat 或 float 的類陣列 (array_like)

自由度，必須 > 0。

sizeint 或 int 元組，選用

輸出形狀。如果給定的形狀是，例如 (m, n, k)，則會抽取 m * n * k 個樣本。如果 size 為 None (預設值)，則如果 df 是純量，則會傳回單一值。否則，會抽取 np.array(df).size 個樣本。

傳回值:

outndarray 或 純量

從參數化的標準 Student’s t 分佈中抽取的樣本。

另請參閱

random.Generator.standard_t

新程式碼應使用此方法。

註解

t 分佈的機率密度函數為

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t 檢定基於資料來自常態分佈的假設。t 檢定提供一種方法來檢定樣本平均值 (即從資料計算出的平均值) 是否為真實平均值的良好估計值。

t 分佈的推導最早於 1908 年由 William Gosset 在都柏林的 Guinness Brewery 工作時發表。由於專有問題，他必須以筆名發表，因此他使用了 Student 這個名字。

參考文獻

[1]

Dalgaard, Peter, “Introductory Statistics With R”, Springer, 2002。

[2]

Wikipedia, “Student’s t-distribution” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

範例

從 Dalgaard 第 83 頁 [1]，假設 11 位女性的每日能量攝取量 (kJ) 為

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

她們的能量攝取量是否系統性地偏離建議值 7725 kJ？我們的虛無假設將是不存在偏差，而對立假設將是存在可能為正或負的效果，因此使我們的檢定成為雙尾檢定。

因為我們正在估計平均值，並且我們的樣本中有 N=11 個值，所以我們有 N-1=10 個自由度。我們將顯著性水準設定為 95%，並使用我們攝取量的經驗平均值和經驗標準差來計算 t 統計量。我們使用 ddof 為 1，以根據變異數的不偏估計值來計算我們的經驗標準差 (注意：由於平方根的凹性質，最終估計值並非不偏)。

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

我們從具有適當自由度的 Student’s t 分佈中抽取 1000000 個樣本。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> s = np.random.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

我們的 t 統計量是否落在分佈雙尾的兩個臨界區域之一？

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

此雙尾檢定的機率值約為 1.83%，低於預先確定的 5% 顯著性閾值。

因此，在虛無假設為真的條件下，觀察到與我們的攝取量一樣極端的值的機率太低，我們拒絕無偏差的虛無假設。