numpy.random.Generator.standard_t

方法

random.Generator.standard_t(df, size=None)

從自由度為 df 的標準 Student’s t 分佈中抽取樣本。

雙曲分佈的一種特殊情況。當 df 變大時，結果會類似於標準常態分佈 (standard_normal) 的結果。

參數:

df浮點數或浮點數的類陣列 (array-like)

自由度，必須 > 0。

size整數或整數元組，選用

輸出形狀。如果給定的形狀是例如 (m, n, k)，則會抽取 m * n * k 個樣本。如果 size 為 None (預設值)，則當 df 是純量時會返回單個值。否則，會抽取 np.array(df).size 個樣本。

返回:

outndarray 或純量

從參數化的標準 Student’s t 分佈中抽取的樣本。

註解

t 分佈的機率密度函數為

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t 檢定基於資料來自常態分佈的假設。t 檢定提供了一種方法來檢驗樣本平均值（即從資料計算出的平均值）是否是對真實平均值的良好估計。

t 分佈的推導最初由 William Gosset 於 1908 年在都柏林 Guinness Brewery 工作時發表。由於專有問題，他必須以筆名發表，因此他使用了 Student 這個名字。

參考文獻

[1]

Dalgaard, Peter, “Introductory Statistics With R”, Springer, 2002.

[2]

Wikipedia，“Student’s t-distribution” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

範例

從 Dalgaard 第 83 頁 [1]，假設 11 位女性的每日能量攝取量（千焦耳，kJ）為

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

她們的能量攝取量是否與建議值 7725 kJ 有系統性偏差？我們的虛無假設將是沒有偏差，而對立假設將是存在可能是正向或負向的效果，因此使我們的檢定為雙尾檢定。

因為我們正在估計平均值，並且我們的樣本中有 N=11 個值，所以我們有 N-1=10 個自由度。我們將顯著性水平設定為 95%，並使用我們攝取量的經驗平均值和經驗標準差計算 t 統計量。我們使用 ddof 為 1，以將我們的經驗標準差的計算基於變異數的無偏估計 (注意：由於平方根的凹性，最終估計並非無偏)。

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

我們從具有適當自由度的 Student’s t 分佈中抽取 1000000 個樣本。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> s = rng.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

我們的 t 統計量是否落在分佈的兩個尾部找到的兩個臨界區域之一中？

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

此雙尾檢定的機率值約為 1.83%，低於預先確定的 5% 顯著性閾值。

因此，在虛無假設為真的條件下，觀察到與我們的攝取量一樣極端的值的機率太低，因此我們拒絕沒有偏差的虛無假設。