離散傅立葉變換 (numpy.fft)#
SciPy 模組 scipy.fft 是 numpy.fft 更全面的超集，僅包含一組基本常式。
標準 FFT#
實數 FFT#
Hermitian FFT#
輔助常式#
背景資訊#
傅立葉分析從根本上來說是一種將函數表示為週期性分量之和，並從這些分量中恢復函數的方法。當函數及其傅立葉變換都替換為離散化對應項時，它被稱為離散傅立葉變換 (DFT)。DFT 已成為數值計算的主要方法，部分原因是存在一種非常快速的演算法來計算它，稱為快速傅立葉變換 (FFT)，高斯 (1805) 就已知道，並且由 Cooley 和 Tukey [CT] 以目前的形式公開。Press 等人 [NR] 提供了傅立葉分析及其應用程式的易懂介紹。
由於離散傅立葉變換將其輸入分離為在離散頻率下起作用的分量，因此它在數位訊號處理中具有大量應用，例如，用於濾波，在這種情況下，變換的離散化輸入通常稱為訊號，它存在於時域中。輸出稱為頻譜或變換，存在於頻域中。
實作細節#
定義 DFT 的方法有很多種，指數的符號、正規化等各不相同。在此實作中，DFT 定義為
DFT 通常針對複數輸入和輸出定義，線性頻率 \(f\) 的單頻分量由複數指數 \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\) 表示，其中 \(\Delta t\) 是取樣間隔。
結果中的值遵循所謂的「標準」順序：如果 A = fft(a, n)，則 A[0] 包含零頻率項（訊號的總和），對於實數輸入，它始終是純實數。然後 A[1:n/2] 包含正頻率項，而 A[n/2+1:] 包含負頻率項，順序為遞減負頻率。對於偶數個輸入點，A[n/2] 表示正負奈奎斯特頻率，對於實數輸入，它也是純實數。對於奇數個輸入點，A[(n-1)/2] 包含最大正頻率，而 A[(n+1)/2] 包含最大負頻率。常式 np.fft.fftfreq(n) 傳回一個陣列，其中提供輸出中對應元素的頻率。常式 np.fft.fftshift(A) 移動變換及其頻率，以將零頻率分量放在中間，而 np.fft.ifftshift(A) 則取消該移動。
當輸入 a 是時域訊號且 A = fft(a) 時，np.abs(A) 是其振幅頻譜，而 np.abs(A)**2 是其功率頻譜。相位頻譜可由 np.angle(A) 獲得。
反 DFT 定義為
它與正向變換的不同之處在於指數引數的符號和預設正規化 \(1/n\)。
型別提升#
numpy.fft 將 float32 和 complex64 陣列分別提升為 float64 和 complex128 陣列。對於不提升輸入陣列的 FFT 實作，請參閱 scipy.fftpack。
正規化#
引數 norm 指示直接/反變換對中的哪個方向被縮放以及使用什麼正規化因子。預設正規化 ("backward") 使直接（正向）變換不縮放，反向（反向）變換縮放 \(1/n\)。可以透過將關鍵字引數 norm 設定為 "ortho" 來獲得單位變換，以便直接變換和反變換都縮放 \(1/\sqrt{n}\)。最後，將關鍵字引數 norm 設定為 "forward" 會使直接變換縮放 \(1/n\)，而反變換不縮放（即與預設 "backward" 完全相反）。None 是預設選項 "backward" 的別名，以實現向後相容性。
實數和 Hermitian 變換#
當輸入為純實數時，其變換為 Hermitian，即頻率 \(f_k\) 的分量是頻率 \(-f_k\) 的分量的複共軛，這表示對於實數輸入，負頻率分量中沒有任何資訊是正頻率分量中已有的資訊。rfft 函數系列旨在對實數輸入進行運算，並透過僅計算正頻率分量（直到並包括奈奎斯特頻率）來利用此對稱性。因此，n 個輸入點產生 n/2+1 個複數輸出點。此系列的反變換假定其輸入具有相同的對稱性，並且對於 n 個點的輸出，使用 n/2+1 個輸入點。
相應地，當頻譜為純實數時，訊號為 Hermitian。hfft 函數系列透過在輸入（時域）中使用 n/2+1 個複數點來獲得頻域中的 n 個實數點，從而利用此對稱性。
在更高維度中，FFT 用於影像分析和濾波等。FFT 的計算效率意味著它也可以成為計算大型卷積的更快方法，方法是使用時域中的卷積等效於頻域中的逐點乘法的屬性。
更高維度#
在二維中，DFT 定義為
它以顯而易見的方式擴展到更高維度，更高維度的反變換也以相同的方式擴展。
參考文獻#
範例#
如需範例，請參閱各種函數。