numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[原始碼]#
多項式對資料的最小平方擬合。
傳回次數為 deg 的多項式係數，該多項式是對在點 x 給定的資料值 y 進行最小平方擬合。如果 y 是一維的，則傳回的係數也將是一維的。如果 y 是二維的，則會進行多次擬合，y 的每一直行各進行一次，且結果係數會儲存在二維傳回值的對應直行中。擬合的多項式形式為
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 為 deg。
- 參數:
- xarray_like，形狀為 (M,)
M 個樣本（資料）點
(x[i], y[i])的 x 座標。- yarray_like，形狀為 (M,) 或 (M, K)
樣本點的 y 座標。可以使用一個
polyfit呼叫，為 y 傳入一個二維陣列，其中每一直行包含一組資料集，以（獨立地）擬合多組共用相同 x 座標的樣本點。- deg整數或一維 array_like
擬合多項式的次數。如果 deg 是單一整數，則擬合中會包含直到且包含 deg 次項的所有項。對於 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用整數列表來指定要包含的項的次數。
- rcond浮點數，可選
擬合的相對條件數。小於 rcond 的奇異值（相對於最大奇異值）將被忽略。預設值為
len(x)*eps，其中 eps 是平台浮點型別的相對精度，在大多數情況下約為 2e-16。- full布林值，可選
切換決定傳回值的性質。當
False（預設值）時，僅傳回係數；當True時，也會傳回來自奇異值分解（用於解擬合的矩陣方程式）的診斷資訊。- warray_like，形狀為 (M,)，可選
權重。如果不是 None，則權重
w[i]適用於在x[i]處的未平方殘差y[i] - y_hat[i]。理想情況下，選擇權重應使乘積w[i]*y[i]的誤差都具有相同的變異數。當使用反變異數加權時，請使用w[i] = 1/sigma(y[i])。預設值為 None。
- 傳回值:
- coefndarray，形狀為 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)
多項式係數，從低次到高次排序。如果 y 是二維的，則 coef 的第 k 行中的係數代表對 y 的第 k 行中的資料進行多項式擬合。
- [residuals, rank, singular_values, rcond]list
只有當
full == True時才會傳回這些值residuals – 最小平方擬合的平方殘差和
rank – 縮放的 Vandermonde 矩陣的數值秩
singular_values – 縮放的 Vandermonde 矩陣的奇異值
rcond – rcond 的值。
如需更多詳細資訊，請參閱
numpy.linalg.lstsq。
- 引發:
- RankWarning
如果最小平方擬合中的矩陣是秩虧的，則會引發此警告。只有當
full == False時才會引發警告。可以透過以下方式關閉警告>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
另請參閱
註解
解是多項式 p 的係數，它最小化了加權平方誤差的總和
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是權重。此問題透過建立（通常是）過度確定的矩陣方程式來解決
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加權偽 Vandermonde 矩陣，c 是要解出的係數，w 是權重，而 y 是觀測值。然後使用 V 的奇異值分解來解此方程式。
如果 V 的某些奇異值太小而被忽略（且
full==False），則會引發RankWarning。這表示係數值可能無法準確確定。擬合到較低階的多項式通常會消除警告（但可能不是您想要的；如果您有獨立的理由選擇無法運作的次數，您可能需要：a) 重新考慮這些理由，和/或 b) 重新考慮您的資料品質）。rcond 參數也可以設定為小於其預設值的值，但結果擬合可能是虛假的，並且可能具有來自捨入誤差的大量貢獻。使用雙精度浮點數的多項式擬合在（多項式）次數約為 20 時往往會「失敗」。使用切比雪夫或勒讓德級數的擬合通常條件更好，但很大程度上仍取決於樣本點的分布和資料的平滑度。如果擬合品質不足，樣條曲線可能是個不錯的替代方案。
範例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
相同的事情，但沒有加入雜訊
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]