numpy.linalg.svd#

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)[原始碼]#

奇異值分解。

當 a 是 2D 陣列，且 full_matrices=False 時，它會被分解為 u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh，其中 u 和 vh 的 Hermitian 轉置是具有正交列的 2D 陣列，而 s 是 a 的奇異值的 1D 陣列。當 a 是更高維度時，SVD 會以堆疊模式應用，如下所述。

參數:

a(…, M, N) 類陣列: 具有 a.ndim >= 2 的實數或複數陣列。
full_matricesbool，可選: 如果為 True (預設值)，則 u 和 vh 的形狀分別為 (..., M, M) 和 (..., N, N)。否則，形狀分別為 (..., M, K) 和 (..., K, N)，其中 K = min(M, N)。
compute_uvbool，可選: 是否除了 s 之外還計算 u 和 vh。預設為 True。
hermitianbool，可選: 如果為 True，則假定 a 為 Hermitian (如果是實數值則為對稱)，從而可以使用更有效的方法來尋找奇異值。預設為 False。

返回:

當 compute_uv 為 True 時，結果是一個具名元組，具有以下
屬性名稱
U{ (…, M, M), (…, M, K) } 陣列: 么正陣列。前 a.ndim - 2 個維度的大小與輸入 a 的大小相同。最後兩個維度的大小取決於 full_matrices 的值。僅在 compute_uv 為 True 時返回。
S(…, K) 陣列: 包含奇異值的向量，每個向量內以遞減順序排序。前 a.ndim - 2 個維度的大小與輸入 a 的大小相同。
Vh{ (…, N, N), (…, K, N) } 陣列: 么正陣列。前 a.ndim - 2 個維度的大小與輸入 a 的大小相同。最後兩個維度的大小取決於 full_matrices 的值。僅在 compute_uv 為 True 時返回。

引發:

LinAlgError: 如果 SVD 計算不收斂。

參見

scipy.linalg.svd: SciPy 中的類似函數。
scipy.linalg.svdvals: 計算矩陣的奇異值。

註解

分解是使用 LAPACK 常式 _gesdd 執行的。

SVD 通常用於描述 2D 矩陣 \(A\) 的分解。更高維度的情況將在下面討論。在 2D 情況下，SVD 寫為 \(A = U S V^H\)，其中 \(A = a\)、\(U= u\)、\(S= \mathtt{np.diag}(s)\) 和 \(V^H = vh\)。1D 陣列 s 包含 a 的奇異值，而 u 和 vh 是么正的。vh 的列是 \(A^H A\) 的特徵向量，而 u 的行是 \(A A^H\) 的特徵向量。在這兩種情況下，對應的 (可能非零) 特徵值由 s**2 給出。

如果 a 具有兩個以上的維度，則會套用廣播規則，如一次對多個矩陣進行線性代數運算中所述。這表示 SVD 以「堆疊」模式運作：它迭代前 a.ndim - 2 個維度的所有索引，並且對於每個組合，SVD 都會應用於最後兩個索引。矩陣 a 可以從分解中重建，使用 (u * s[..., None, @ vh 或 u @ (s[..., None] * vh)。(對於 Python 3.5 以下的版本，@ 運算子可以用函數 np.matmul 替換。)

如果 a 是 matrix 物件 (而不是 ndarray)，則所有回傳值也都是。

範例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6)) + 1j*rng.normal(size=(9, 6))
>>> b = rng.normal(size=(2, 7, 8, 3)) + 1j*rng.normal(size=(2, 7, 8, 3))

基於完整 SVD 的重建，2D 情況

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U[:, :6] * S, Vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基於簡化 SVD 的重建，2D 情況

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U * S, Vh))
True
>>> smat = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基於完整 SVD 的重建，4D 情況

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3] * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3], S[..., None] * Vh))
True

基於簡化 SVD 的重建，4D 情況

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U, S[..., None] * Vh))
True