numpy.linalg.eig#

linalg.eig(a)[原始碼]#

計算方陣的特徵值和右特徵向量。

參數:
a(…, M, M) 陣列

將計算其特徵值和右特徵向量的矩陣

返回:
一個具名的元組，包含以下屬性
eigenvalues(…, M) 陣列

特徵值，每個特徵值根據其重數重複。特徵值不一定排序。結果陣列將為複數型別，除非虛部為零，在這種情況下將轉換為實數型別。當 a 為實數時，結果特徵值將為實數（虛部為 0）或成共軛對出現

eigenvectors(…, M, M) 陣列

標準化（單位「長度」）特徵向量，使得列 eigenvectors[:,i] 是對應於特徵值 eigenvalues[i] 的特徵向量。

引發:
LinAlgError

如果特徵值計算不收斂。

另請參閱

eigvals

非對稱陣列的特徵值。

eigh

實對稱或複 Hermitian（共軛對稱）陣列的特徵值和特徵向量。

eigvalsh

實對稱或複 Hermitian（共軛對稱）陣列的特徵值。

scipy.linalg.eig

SciPy 中類似的函式，也解決廣義特徵值問題。

scipy.linalg.schur

酉矩陣和其他非 Hermitian 正規矩陣的最佳選擇。

註解

廣播規則適用，詳情請參閱 numpy.linalg 文件。

這是使用 _geev LAPACK 常式實作的，該常式計算一般方陣的特徵值和特徵向量。

數字 w 是 a 的特徵值，如果存在向量 v 使得 a @ v = w * v。因此，陣列 a、eigenvalues 和 eigenvectors 滿足方程式 a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]，對於 \(i \in \{0,...,M-1\}\)。

陣列 eigenvectors 可能不是最大秩，也就是說，某些列可能是線性相關的，儘管捨入誤差可能會掩蓋這個事實。如果特徵值都不同，那麼理論上特徵向量是線性獨立的，並且 a 可以通過使用 eigenvectors 的相似變換進行對角化，即 inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors 是對角矩陣。

對於非 Hermitian 正規矩陣，SciPy 函式 scipy.linalg.schur 是首選，因為矩陣 eigenvectors 保證是酉矩陣，而使用 eig 時則不然。Schur 分解產生一個上三角矩陣而不是對角矩陣，但對於正規矩陣，只需要上三角矩陣的對角線，其餘的是捨入誤差。

最後，強調 eigenvectors 由 a 的右（如右手邊）特徵向量組成。滿足 y.T @ a = z * y.T 的向量 y 對於某個數字 z 稱為 a 的左特徵向量，並且一般來說，矩陣的左特徵向量和右特徵向量不一定是彼此的（可能共軛）轉置。

參考文獻

G. Strang，《線性代數及其應用》，第二版，奧蘭多，佛羅里達州，學術出版社公司，1980 年，各頁。

範例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA

（幾乎）平凡的範例，具有實數特徵值和特徵向量。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> eigenvalues
array([1., 2., 3.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有複數特徵值和特徵向量的實數矩陣；請注意，特徵值是彼此的複數共軛。

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> eigenvalues
array([1.+1.j, 1.-1.j])
>>> eigenvectors
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

具有實數特徵值（但複數值特徵向量）的複數值矩陣；請注意 a.conj().T == a，即 a 是 Hermitian 矩陣。

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([2.+0.j, 0.+0.j])
>>> eigenvectors
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

請注意捨入誤差！

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([1., 1.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])
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