numpy.linalg.norm#

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)[source]#

矩陣或向量範數。

此函數能夠傳回八種不同的矩陣範數之一，或無限多種向量範數之一（如下所述），具體取決於 ord 參數的值。

參數:
xarray_like

輸入陣列。如果 axis 為 None，則 x 必須為 1 維或 2 維，除非 ord 為 None。如果 axis 和 ord 均為 None，則將傳回 x.ravel 的 2-範數。

ord{int, float, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}, optional

範數的階數（請參閱 Notes 下的表格，了解矩陣和向量分別支援哪些值）。inf 表示 numpy 的 inf 物件。預設值為 None。

axis{None, int, 2-tuple of ints}, optional.

如果 axis 是整數，則指定要沿著 x 計算向量範數的軸。如果 axis 是 2 元組，則指定保存 2 維矩陣的軸，並計算這些矩陣的矩陣範數。如果 axis 為 None，則傳回向量範數（當 x 為 1 維時）或矩陣範數（當 x 為 2 維時）。預設值為 None。

keepdimsbool, optional

如果設定為 True，則被計算範數的軸將保留在結果中，作為大小為 1 的維度。使用此選項，結果將與原始 x 正確廣播。

傳回值:
nfloat 或 ndarray

矩陣或向量的範數。

參見

scipy.linalg.norm

SciPy 中的類似函數。

Notes

對於 ord < 1 的值，嚴格來說，結果並非數學上的「範數」，但它可能仍適用於各種數值目的。

可以計算以下範數

ord

矩陣的範數

向量的範數

None

Frobenius 範數

2-範數

‘fro’

Frobenius 範數

–

‘nuc’

核範數

–

inf

max(sum(abs(x), axis=1))

max(abs(x))

-inf

min(sum(abs(x), axis=1))

min(abs(x))

0

–

sum(x != 0)

1

max(sum(abs(x), axis=0))

如下

-1

min(sum(abs(x), axis=0))

如下

2

2-範數（最大奇異值）

如下

-2

最小奇異值

如下

其他

–

sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

Frobenius 範數由下式給出 [1]

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核範數是奇異值的總和。

Frobenius 和核範數階數僅針對矩陣定義，當 x.ndim != 2 時會引發 ValueError。

參考文獻

[1]

G. H. Golub 和 C. F. Van Loan，《Matrix Computations》，Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, pg. 15

範例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用 axis 參數計算向量範數

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用 axis 參數計算矩陣範數

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)
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