在 NumPy 中確定靜態平衡#
在分析物理結構時，了解使其保持穩定的力學原理至關重要。施加在地板、樑或任何其他結構上的力會產生反作用力和力矩。這些反作用力是結構在不破壞的情況下抵抗移動的力量。在結構即使受到力作用也不會移動的情況下，牛頓第二定律指出，系統中所有方向的加速度和力總和都必須為零。您可以使用 NumPy 陣列來表示和解決這個概念。
您將會做什麼：#
在本教學中，您將使用 NumPy 透過 NumPy 陣列建立向量和力矩
解決涉及電纜和地板支撐結構的問題
編寫 NumPy 矩陣以隔離未知數
使用 NumPy 函數執行線性代數運算
您將會學到什麼：#
如何使用 NumPy 表示點、向量和力矩。
如何找到向量的法線
使用 NumPy 計算矩陣運算
您需要的東西：#
NumPy
使用以下指令匯入
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
在本教學中，您將使用以下 NumPy 工具
np.linalg.norm: 此函數確定向量大小的量度np.cross: 此函數接受兩個矩陣並產生外積
使用牛頓第二定律解靜態平衡#
您的模型包含一個樑，樑上作用著力和力矩的總和。您可以從牛頓第二定律開始分析這個系統
為了簡化所檢視的範例，假設它們是靜態的，加速度 \(=0\)。由於我們的系統存在於三個維度中，因此請考慮在每個維度中施加的力。這表示您可以將這些力表示為向量。對於力矩，您也可以得出相同的結論，力矩是從距離物體質心一定距離處施加的力產生的。
假設力 \(F\) 表示為三維向量
其中三個分量中的每一個都表示在每個對應方向上施加的力的大小。也假設向量中的每個分量
是力各分量的施力點與系統形心之間的距離。那麼，力矩可以透過以下方式計算
從一些簡單的力向量範例開始
forceA = np.array([1, 0, 0])
forceB = np.array([0, 1, 0])
print("Force A =", forceA)
print("Force B =", forceB)
Force A = [1 0 0]
Force B = [0 1 0]
這將 forceA 定義為在 \(x\) 方向上大小為 1 的向量，將 forceB 定義為在 \(y\) 方向上大小為 1 的向量。
視覺化這些力可能有助於更好地了解它們如何相互作用。Matplotlib 是一個具有視覺化工具的函式庫，可用於此目的。Quiver 圖將用於示範三維向量，但該函式庫也可用於二維示範。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0]) # defining the point of application. Make it the origin
u, v, w = forceA # breaking the force vector into individual components
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
plt.legend()
plt.show()
有兩個力從一個點發出。為了簡化這個問題，您可以將它們加在一起以找到力的總和。請注意，forceA 和 forceB 都是三維向量，NumPy 將其表示為具有三個分量的陣列。由於 NumPy 旨在簡化和最佳化向量之間的運算，因此您可以輕鬆地計算這兩個向量的總和，如下所示
forceC = forceA + forceB
print("Force C =", forceC)
Force C = [1 1 0]
力 C 現在充當代表 A 和 B 的單個力。您可以繪製它以查看結果。
fig = plt.figure()
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="r", label="forceA")
u, v, w = forceB
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="b", label="forceB")
u, v, w = forceC
d3.quiver(x, y, z, u, v, w, color="g", label="forceC")
plt.legend()
plt.show()
但是，目標是平衡。這表示您希望力的總和為 \((0, 0, 0)\)，否則您的物體將會經歷加速度。因此，需要有另一個力來抵消先前的力。
您可以將此問題寫成 \(A+B+R=0\)，其中 \(R\) 是解決問題的反作用力。
在此範例中，這表示
分解為 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 分量，這會給您
求解 \(R_x\)、\(R_y\) 和 \(R_z\) 會給您向量 \(R\)，即 \((-1, -1, 0)\)。
如果繪製出來，先前範例中看到的力應該會被抵消。只有在沒有剩餘力的情況下，系統才被視為處於平衡狀態。
R = np.array([-1, -1, 0])
fig = plt.figure()
d3.set_xlim(-1, 1)
d3.set_ylim(-1, 1)
d3.set_zlim(-1, 1)
d3 = fig.add_subplot(projection="3d")
x, y, z = np.array([0, 0, 0])
u, v, w = forceA + forceB + R # add them all together for sum of forces
d3.quiver(x, y, z, u, v, w)
plt.show()
空白圖形表示沒有異常力。這表示系統處於平衡狀態。
將平衡解為力矩總和#
接下來，讓我們進入更複雜的應用。當力不是都施加在同一個點時，就會產生力矩。
與力類似，這些力矩的總和也必須為零，否則會產生旋轉加速度。與力總和類似，這會為空間中三個座標方向中的每一個建立線性方程式。
一個簡單的範例是將力施加到固定在地面的靜止桿上。桿子不會移動，因此它必須施加反作用力。桿子也不會旋轉，因此它也必須產生反作用力矩。求解反作用力和力矩。
假設在桿子底部上方 2 公尺處垂直施加 5 牛頓的力。
f = 5 # Force in newtons
L = 2 # Length of the pole
R = 0 - f
M = 0 - f * L
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = -5
Reaction moment = -10
尋找具有物理性質的值#
假設力不是垂直作用於樑上，而是透過也連接到地面的電線施加到桿子上。給定此繩索的張力，您只需解決此問題的物件的物理位置即可。
為了響應作用在桿子上的力，底部在 x 和 y 方向產生反作用力，以及反作用力矩。
將桿子的底部表示為原點。現在，假設繩索連接到地面，在 x 方向上 3 公尺處，並連接到桿子，在 z 方向上 2 公尺處。
將這些點在空間中定義為 NumPy 陣列，然後使用這些陣列尋找方向向量。
poleBase = np.array([0, 0, 0])
cordBase = np.array([3, 0, 0])
cordConnection = np.array([0, 0, 2])
poleDirection = cordConnection - poleBase
print("Pole direction =", poleDirection)
cordDirection = cordBase - cordConnection
print("Cord direction =", cordDirection)
Pole direction = [0 0 2]
Cord direction = [ 3 0 -2]
為了在與力相關的方面使用這些向量，您需要將它們轉換為單位向量。單位向量的大小為 1，並且僅傳達力的方向。
cordUnit = cordDirection / np.linalg.norm(cordDirection)
print("Cord unit vector =", cordUnit)
Cord unit vector = [ 0.83205029 0. -0.5547002 ]
然後，您可以將此方向乘以力的大小，以找到力向量。
假設繩索的張力為 5 牛頓
cordTension = 5
forceCord = cordUnit * cordTension
print("Force from the cord =", forceCord)
Force from the cord = [ 4.16025147 0. -2.77350098]
為了找到力矩，您需要力向量和半徑的外積。
momentCord = np.cross(forceCord, poleDirection)
print("Moment from the cord =", momentCord)
Moment from the cord = [ 0. -8.32050294 0. ]
現在您只需要找到反作用力和力矩即可。
equilibrium = np.array([0, 0, 0])
R = equilibrium - forceCord
M = equilibrium - momentCord
print("Reaction force =", R)
print("Reaction moment =", M)
Reaction force = [-4.16025147 0. 2.77350098]
Reaction moment = [0. 8.32050294 0. ]
另一個範例#
讓我們看看稍微複雜的模型。在此範例中，您將觀察一個樑，該樑具有兩條電纜和一個施加的力。這次您需要找到繩索中的張力和樑的反作用力。（來源：Vector Mechanics for Engineers: Statics，問題 4.106）
將距離 a 定義為 3 公尺
和以前一樣，首先將每個相關點的位置定義為陣列。
A = np.array([0, 0, 0])
B = np.array([0, 3, 0])
C = np.array([0, 6, 0])
D = np.array([1.5, 0, -3])
E = np.array([1.5, 0, 3])
F = np.array([-3, 0, 2])
從這些方程式開始，您可以使用單位向量確定向量方向。
AB = B - C
AC = C - A
BD = D - B
BE = E - B
CF = F - C
UnitBD = BD / np.linalg.norm(BD)
UnitBE = BE / np.linalg.norm(BE)
UnitCF = CF / np.linalg.norm(CF)
RadBD = np.cross(AB, UnitBD)
RadBE = np.cross(AB, UnitBE)
RadCF = np.cross(AC, UnitCF)
這可讓您將作用在系統上的張力 (T) 和反作用力 (R) 表示為
力矩為
其中 \(T\) 是各個繩索中的張力，\(R\) 是各個方向上的反作用力。然後您只有六個方程式
\(\sum F_{x} = 0 = T_{BE}/3+T_{BD}/3-195+R_{x}\)
\(\sum F_{y} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}-\frac{2}{3}T_{BD}-390+R_{y}\)
\(\sum F_{z} = 0 = (-\frac{2}{3})T_{BE}+\frac{2}{3}T_{BD}+130+R_{z}\)
\(\sum M_{x} = 0 = 780+2T_{BE}-2T_{BD}\)
\(\sum M_{z} = 0 = 1170-T_{BE}-T_{BD}\)
您現在有五個未知數和五個方程式，可以求解
\(\ T_{BD} = 780N\)
\(\ T_{BE} = 390N\)
\(\ R_{x} = -195N\)
\(\ R_{y} = 1170N\)
\(\ R_{z} = 130N\)
總結#
您已經學習了如何使用陣列來表示三維空間中的點、力和力矩。陣列中的每個條目都可用於表示分解為方向分量的物理性質。然後可以使用 NumPy 函數輕鬆地操作它們。
其他應用#
相同的過程可以應用於動力學問題或任意維度。本教學中完成的範例假設了靜態平衡中的三維問題。這些方法可以輕鬆地用於更多樣化的問題。更多或更少的維度需要更大或更小的陣列來表示。在經歷加速度的系統中，速度和加速度也可以類似地表示為向量。